Euclide
∞Démonstration qu’il existe une infinité de nombres premiers.
LECTURE PAR L’AUTEUR
Écoutez le poème.
Lu par l’auteur dans la version anglaise originale.
Odd Imperfect FriendLecture en anglais
POÈME + NOMBRES PREMIERS
Odd Imperfect Friend
QUAND LES PARTIES ÉGALENT LE TOUT
Les nombres parfaits
Un entier positif est dit parfait lorsque ses diviseurs propres — ses facteurs positifs plus petits que lui — s’additionnent pour redonner exactement ce nombre.
UN PETIT LABORATOIRE DES NOMBRES
À la recherche d’un nombre parfait
Choisissez un exemple pour voir comment ses parties égalent le tout. Ensuite, essayez votre propre entier ou tirez au hasard un grand nombre impair.
COMMENCEZ PAR UN NOMBRE PARFAIT CONNU
UN PETIT LABORATOIRE DES NOMBRES
Oui, c’est un nombre parfait !
DIVISEURS PROPRES
=124714
SOMME DES DIVISEURS PROPRES28LE NOMBRE28
Si ce résultat est réel, ce serait une découverte majeure. Vérifiez-le indépendamment avant de le diffuser.
Les calculs sont exacts pour les entiers acceptés. Les très grands nombres peuvent prendre quelques secondes ; si le calcul ne termine pas, aucun verdict n’est affiché.
LA GRANDE QUESTION IMPAIRE
Un nombre parfait impair existe-t-il ?
Survolez ou sélectionnez pour révéler ce que l’on sait.Tous les nombres parfaits découverts jusqu’ici sont pairs. Personne ne sait encore si un nombre parfait impair existe. Tout nombre parfait impair serait supérieur à 101500.Source mathématique →
UN PROBLÈME NON RÉSOLU
La conjecture de Goldbach
Chaque entier pair supérieur à 2 peut-il s’écrire comme la somme de deux nombres premiers ?
C’est ce qu’affirme la conjecture forte de Goldbach. Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n’est divisible que par 1 et par lui-même. L’énoncé est d’une simplicité séduisante, et chaque nombre pair de cette exploration le vérifie, mais aucune démonstration valable pour tous les entiers pairs n’est encore connue.
Survolez, sélectionnez au clavier ou touchez un nombre pair pour voir toutes ses décompositions en deux nombres premiers.
Lire une présentation de la conjecture par l’American Mathematical Society →ENTIERS DE 1 À 200
nombre pair — interactifnombre impair
123579111315171921232527293133353739414345474951535557596163656769717375777981838587899193959799101103105107109111113115117119121123125127129131133135137139141143145147149151153155157159161163165167169171173175177179181183185187189191193195197199
UNE CONJECTURE EN APPROCHE
La conjecture des nombres premiers jumeaux
Deux nombres premiers jumeaux, comme 11 et 13, ne sont séparés que par 2. La conjecture affirme qu’il existe une infinité de telles paires. Pendant longtemps, les progrès ne donnaient qu’un écart qui grandissait avec les nombres premiers eux-mêmes. En 2013, Yitang Zhang a franchi une frontière : il a démontré qu’une même borne fixe suffit une infinité de fois. Depuis, cette borne a été fortement resserrée. Les mathématiciens n’ont pas encore atteint l’écart de 2 — mais l’histoire de leur rapprochement est déjà remarquable.
DE L’INFINITÉ DES NOMBRES PREMIERS AUX ÉCARTS RELATIVEMENT PETITS
- v. 300 av. J.-C.
- 1896
Théorème des nombres premiers
≈ log pL’écart moyen près de p est de l’ordre de log p : une première échelle naturelle pour mesurer les écarts.
- 2005
Goldston–Pintz–Yıldırım
o(log p)Une infinité d’écarts sont plus petits que toute fraction fixe de l’écart moyen — sans obtenir encore de borne constante.
UNE BORNE ABSOLUE — LE TOURNANT
avril 2013Yitang Zhang
≤ 70 000 000Première démonstration inconditionnelle d’écarts bornés : une constante absolue fonctionne infiniment souvent.
- 2013
Polymath8a · Terence Tao
≤ 4 680Tao contribue à organiser une collaboration ouverte qui affine rapidement la méthode de Zhang et réduit la borne de plus de quatre ordres de grandeur.
- nov. 2013
James Maynard
≤ 600Un nouveau crible multidimensionnel rend la démonstration plus souple et resserre encore l’intervalle.
- 19 nov. 2013
Travail parallèle de Terence Tao
NOUVEAU CRIBLETao arrive indépendamment à des idées de crible très proches — avec une borne générale légèrement plus faible — puis lance Polymath8b pour les combiner avec la méthode de Maynard.
- 2014–aujourd’hui
Polymath8b · lancé par Tao
≤ 246La collaboration affine le crible de Maynard–Tao jusqu’à la meilleure borne inconditionnelle connue : une infinité d’intervalles de longueur 246 contiennent au moins deux nombres premiers.
OBJECTIF TOUJOURS OUVERT
?Nombres premiers jumeaux
= 2Démontrer cet ultime pas établirait qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers jumeaux.
Une borne ≤ B signifie qu’une infinité de paires de nombres premiers consécutifs sont séparées par au plus B. Comme seuls un nombre fini d’écarts pairs sont alors possibles, au moins un écart fixe parmi eux se répète infiniment souvent — sans que l’on sache encore lequel.
Les largeurs sont logarithmiques et indicatives : passer de 70 000 000 à 246 est bien plus spectaculaire qu’une échelle linéaire ne pourrait le montrer ici.
LES DEGRÉS DE LA COLLABORATION
Le nombre d’Erdős
Le nombre d’Erdős fonctionne comme le nombre de Bacon : là où le second relie les interprètes à Kevin Bacon par des films partagés, le premier relie les chercheurs à Paul Erdős par des articles cosignés. Erdős lui-même porte le nombre 0 ; ses coauteurs directs portent le nombre 1 ; les coauteurs de ceux-ci portent le nombre 2, et ainsi de suite.
0Paul Erdős
1coauteur direct
2coauteur d’un coauteur
3+et ainsi de suite
Les décomptes exacts varient légèrement selon les mises à jour et les critères bibliographiques ; les archives du projet recensent plus de 1 400 articles et les sources biographiques parlent couramment de plus de 1 500 publications et de plus de 500 coauteurs.
UN VOCABULAIRE ET UNE VIE BIEN À LUI
- « Mon cerveau est ouvert »Voyageur presque sans domicile fixe, il arrivait chez des collègues avec une petite valise et cette invitation à se mettre immédiatement aux mathématiques.
- Le LivreIl imaginait un livre idéal contenant les démonstrations les plus belles de chaque théorème — une métaphore devenue célèbre dans la culture mathématique.
- Les epsilonsDans son vocabulaire personnel, les enfants étaient des « epsilons » ; « partir » signifiait mourir, tandis que « mourir » pouvait signifier cesser de faire des mathématiques.
- Des problèmes avec récompenseIl attribuait des prix en espèces aux problèmes ouverts selon leur difficulté, transformant ses conjectures en invitations concrètes à collaborer.
- Une générosité radicaleIl donnait une grande partie de ses honoraires et récompenses à de jeunes mathématiciens ou les recyclait en prix pour de nouveaux problèmes.
SOURCES ET POUR ALLER PLUS LOIN
The Erdős Number ProjectMathematical Association of AmericaAmerican Mathematical Society tributeDISCUSSION DES LECTEURS
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